Encyklopedia w Markpol

Reklama:

Wielomian – pojęcie to, w zależności od kontekstu, oznacza funkcję (na ogół zmiennej rzeczywistej lub zespolonej), albo szczególne wyrażenie algebraiczne.

Wielomian jako funkcja

Potocznie pod pojęciem wielomianu rozumiemy funkcję postaci: :f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_0, gdzie ai są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, a zmienna x przebiega odpowiedni zbiór. Liczby ai nazywamy współczynnikami wielomianu, n jego stopniem, an najstarszym współczynnikiem, a a0 wyrazem wolnym. Wielomian stopnia n ma co najwyżej n miejsc zerowych – wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma zawsze co najmniej jedno miejsce zerowe. Zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że każdy wielomian zespolony ma zespolone miejsce zerowe. Do obliczania wartości wielomianu dla danej liczby c wygodnie stosować jest schemat Hornera.

Aproksymacja funkcji ciągłych

Ze względu na swą prostotę i "porządne" własności (ciągłość, różniczkowalność) wielomiany odgrywają ważną rolę w analizie matematycznej. Podstawowe twierdzenie Weierstrassa mówi, że każdą funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można z dowolną dokładnością przybliżać wielomianami. Zagadnienie aproksymacji funkcji wielomianami doprowadziło do konstrukcji wielomianów Czebyszewa i Legendre'a.

Szeregi potęgowe

Próby przybliżania funkcji wielomianami doprowadziły do teorii szeregów potęgowych, które można traktować jako uogólnienie wielomianów. Wiele ważnych funkcji daje się rozwinąć w szereg potęgowy, co ułatwia badanie ich własności. Dla przykładu funkcja x → ex ma rozwinięcie: :e^x=1+\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots Rozwijanie funkcji w szereg jest szczególnie ważne w przypadku funkcji, które nie są elementarne (zobacz też: funkcje specjalne).

Przestrzeń liniowa

W terminach algebry liniowej każdy wielomian jest kombinacją liniową prostych funkcji potęgowych postaci x → xk, gdzie k = 0, 1, 2... Zbiór wielomianów jest podprzestrzenią liniową przestrzeni wszystkich funkcji określonych na R lub C. Twierdzenie Weierstrassa mówi, że przestrzeń wielomianów jest zbiorem gęstym w przestrzeni Banacha C([a, b]) z normą supremum.

Wielomian w algebrze

Wielomian jednej zmiennej x to wyrażenie algebraiczne postaci: :anxn+ an-1xn-1 + ... + a1x + a0, gdzie x to symbol zmiennej, zaś ak to współczynniki należące do pewnego pierścienia, na przykład liczb rzeczywistych lub zespolonych. Liczbę an nazywamy najstarszym współczynnikiem wielomianu, zaś a0 wyrazem wolnym. Przykłady wielomianów jednej zmiennej:
  • 2x
  • 3x3-2x2+x-1
  • x5+x3-2x+11
  • -9
  • 0. W tym sensie wielomiany to po prostu napisy, na których możemy wykonywać działania zgodnie z poznanymi w szkole regułami. Ostatni z podanych wielomianów to wielomian zerowy &
  • 8212; odgrywa on rolę analogiczną do roli liczby 0 w zbiorze liczb całkowitych. W przypadku pierścieni nieskończonych bez dzielników zera, na których zwykle operujemy, rozróżnienie między funkcją a wyrażeniem algebraicznym nie jest konieczne. Ale na przykład wielomiany x2 i x generują identyczne funkcje w pierścieniu Z modulo 2: 12=1, 02=0, nie chcemy ich jednak traktować jako tego samego obiektu. Zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach z danego pierścienia tworzy znowu pierścień, zwany pierścieniem wielomianów danego pierścienia.

    Wielomiany wielu zmiennych

    Analogicznie można rozpatrywać wielomiany dwóch zmiennych, czyli wyrażenia postaci an,mxnym+ an-1,mxn-1ym + an,m-1xnym-1 + ... + a1,1xy + a1,0x + a0,1y + a0,0, następnie zaś wielomiany trzech zmiennych i tak dalej Zobacz też: interpolacja wielomianowa, miejsce zerowe, postać Lagrange'a wielomianu, postać Newtona wielomianu, stopień wielomianu, przegląd zagadnień z zakresu matematyki.

    Chcesz wypromować swoją stronę w internecie?? - nie zwlekaj pozycjonowanie w Luman.biz to rozsądny wybór
    2005 Encyklopedia
    These materials are based onWikipedia and licensed under the GNU FDL
    Property for sale in Spain|Problem Mortgage|Loans|Loans|Mobile Phone

    		•