Krzywa to pojęcie matematyczne, które zrobiło również zawrotną karierę w ekonomii.
Intuicyjnie jest to dowolna linia na płaszczyźnie lub w przestrzeni, w tym także linia prosta. Może ona w szczególności rozgałęziać się i przerywać. Pomimo intuicyjnej prostoty pojęcie to jest bardzo trudne do ścisłego zdefiniowania.
Obecnie przyjmowana jest następująca definicja matematyczna krzywej w dowolnej przestrzeni metrycznej:
Krzywa to continuum o wymiarze 1, tj. takie continuum, iż każdy jego punkt posiada pewne otoczenie, którego brzeg nie zawiera żadnego continuum złożonego z więcej niż jednego punktu.
Innymi słowy, przekładając na nieco mniej ścisły język, krzywa na płaszczyźnie to figura płaska o tej własności, iż możemy wokół każdego jej punktu nakreślić (niewielki) okrąg, który przecina się z nią jedynie w pojedynczych punktach.
Podana definicja pochodzi z lat 20. XX wieku, jednak krzywą próbowano zdefiniować już od starożytności:
Euklides określał ją jako "długość bez szerokości" oraz "ograniczenie powierzchni". Nie są to jednak definicje w sensie matematycznym.
Kartezjusz definiował krzywą jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. Definicja ta nie obejmuje wszystkich przypadków.
Camille Jordan w XIX wieku zdefiniował krzywą jako zbiór punktów (Φ(t),Ψ(t)), gdzie Φ i Ψ są funkcjami ciągłymi, zaś t jest parametrem przebiegającym przedziałliczb rzeczywistych. Innymi słowy krzywa Jordana jest to obraz przedziału (równoważnie: odcinka) w odwzorowaniu ciągłym. Okazało się wszakże, że definicja ta jest zbyt szeroka. W 1890Giuseppe Peano pokazał, że do tej definicji pasuje również kwadrat wraz z wnętrzem (tzw. krzywa Peano).
Ważne klasy krzywych definiuje się nakładając dodatkowe warunki na funkcje Φ i Ψ, na przyklad dla funkcji różniczkowalnych dostajemy łuk regularny, a dla przedziałami liniowych - linię łamaną.
Kolejna definicja określała krzywą jako sumę skończonej liczby łuków, z których żadne dwa nie mają wspólnych punktów oprócz swych końców. Okazało się jednak, że definicja ta nie obejmuje niektórych przypadków, np.
:z dołączonym odcinkiem x=0, -1≤y≤1.
Georg Cantor pod koniec XIX wieku podał następującą definicję: krzywa to takie continuum na płaszczyźnie, że w każdym otoczeniu każdego jej punktu znajduje się punkt płaszczyzny nie należący do tego continuum. Okazało się jednak, że istnieją zbiory, takie jak dywan Sierpińskiego, które pasują do tej definicji, choć intuicyjnie nie powinny. Definicja okazała się zatem za szeroka.