Encyklopedia w MarkpolReklama: dekoracje stołuAksjomat indukcji to aksjomat a właściwie nieskończony przeliczalny zbiór aksjomatów pierwszego rzędu, pozalogicznych rozważany zwłaszcza w teorii arytmetyki liczb naturalnych. Jest on formalizacją zasady indukcji matematycznej. Jego treść przedstawia się następująco: Gdzie An oznacza: "dla każdego n" => to wynikanie (implikacja) ^ oznacza "i". Tak wyrażony aksjomat indukcji nie spełnia jednak założeń rozlicznych podejść, a w tym np. analizy Goedla niesprzeczności teorii matematycznych w szczególności arytmetyki. Problemem jest zupełna nieobliczalność relacji użytych do konstrukcji powyższego zdania: kwantyfikator ogólny "dla każdego n" nie da się bowiem zapisać jako funkcja obliczalna. Ponadto zdanie powyższe jest zdaniem drugiego rzędu z uwagi na użycie kwantyfikatora, co sprawia że operuje ono obiektami niezdefiniowanymi w teorii (zbiorem liczb naturalnych n, z którego mamy wybierać wartości: nie można go skonstruować zanim nie ustalimy listy aksjomatów i nie udowodnimy ich niesprzeczności). Równoważnie aksjomat indukcji można zapisać jako koniunkcję zbioru aksjomatów w następującej postaci: w której to notacji nie został użyty nieograniczony a wiec nieobliczalny (nierekurencyjny) kwantyfikator ogólny, zaś wszystkie zdania są pierwszego rzędu ( wyrażają prawdy o zdefiniowanych wcześniej pojęciach pierwotnych arytmetyki nie używając kwantyfikatora ogólnego). Uzyskujemy w ten sposób formalną poprawność sformułowania aksjomatu. Aksjomaty indukcji są ważnym elementem teorii arytmetyki. Jako ciekawostkę można nadmienić, że znane są przykłady twierdzeń, w których chociaż znamy dowody twierdzenia T(n) dla każdego n, to twierdzenie T(n) nie może być dowiedzione w ramach arytmetyki liczb naturalnych ( jest niedowiedlne) gdyż każdy z tych dowodów jest prowadzony za pomocą innych narzędzi i nie da się ich sprowadzić do kroku indukcyjnego (a więc rozumowania wykazującego T(n)=>T(n+1)) zapisanego za pomocą języka arytmetyki i obejmującego wszystkie możliwe wartości n (dla każdego n pojawia się pewien nowy element niewystępujący dla innych n). LiteraturaChcesz wypromować swoją stronę w internecie?? - nie zwlekaj pozycjonowanie w Luman.biz to rozsądny wybór |
|